题目内容

9.设函数f(x)=$\frac{{x}^{2}}{2(x-1)}$,给定数列{an},其中a1=a>1,an+1=f(an)(n∈N+).
(1)若{an}为常数列,求a的值;
(2)判断an与2的大小,并证明你的结论.

分析 (1)设an=a代入an+1=f(an)(n∈N+),列出方程后化简求出a的值;
(2)对a分类讨论:当a=2时由(1)即可判断;当a≠2时,先求出a2并利用作差法判断出a2与2的大小关系,再利用数学归纳法进行证明结论.

解答 解:(1)若{an}为常数列,则an=a,
由an+1=f(an),得a=f(a),
因为f(x)=$\frac{x2}{2(x-1)}$,所以a=$\frac{a2}{2(a-1)}$,
又a>1,所以a=2(a-1),解得a=2;
(2)当a=2时,由(1)知an=2,
当a≠2时,因为a1=a,an+1=f(an)=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2({a}_{n}-1)}$,
所以a2=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2({a}_{1}-1)}$=$\frac{a2}{2(a-1)}$,
所以a2-2=$\frac{a2}{2(a-1)}$-2=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{2(a-1)}$=$\frac{(a-2)^{2}}{2(a-1)}$>0,则a2>2,
当k≥3时,假设ak>2,即ak-2>0,
那么当n=k+1时,ak+1-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}}{2({a}_{k}-1)}$-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}-4{a}_{k}+4}{2({a}_{k}-1)}$=$\frac{{({a}_{k}-2)}^{2}}{2({a}_{k}-1)}$>0,
所以ak+1-2>0,则ak+1>2成立,
综上可得,当a=2时,an=2;当a≠2、n≥2时,有an>2.

点评 本题考查数列的递推公式,数列与函数的关系,以及利用数学归纳法证明结论,属于中档题.

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