Question

14．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-ax²-ax，g（x）=2x²+4x+c
（Ⅰ）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值？说明理由；
（Ⅱ）若a=-1，当x∈[-3，4]时，方程f（x）=g（x）有二个不等实根，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，先假设存在极值，得出矛盾即可；
（Ⅱ）问题转化为c=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x有2个不等实根，设F（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，G（x）=c，通过求导得到函数f（x）的最值，从而判断出c的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意f′（x）=x²-2ax-a，
假设在x=-1时f（x）取得极值，则有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此时，f′（x）=（x+1）²≥0，函数f（x）在x=-1处无极值；
（Ⅱ）f（x）=g（x），则有$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-c=0，
∴c=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
设F（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，G（x）=c，
令F′（x）=x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
列表如下：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
F′（x）		+	0	-	0	+
F（x）	-9	增	$\frac{5}{3}$	减	-9	增	-$\frac{20}{3}$

由此可知：F（x）在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数，
当x=-1时，F（x）取得极大值F（-1）=$\frac{5}{3}$；当x=3时，F（x）取得极小值，
F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=-$\frac{20}{3}$，
所以-$\frac{20}{3}$＜c＜$\frac{5}{3}$或c=-9．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的交点问题，是一道中档题．