题目内容

13.已知圆C:x2+y2=r2具有如下性质:若M,N是圆C上关于原点对称的两个点,点P是圆C上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在时,记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是一个与点P的位置无关的定值.利用类比思想,试对椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$写出具有类似特征的性质,并加以证明.

分析 先类比得出结论,再进行证明即可.

解答 解:性质如下:若M,N是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上关于原点对称的两个点,点P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在时,记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.利用类比思想,椭圆类似特征的性质${k_{PM}}•{k_{PN}}=-\frac{b^2}{a^2}$.
证明:M(m,n),N(-m,-n),P(x0,y0).
则${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_0}+n}}{{{x_0}+m}}•\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-m}}=\frac{{y_0^2-{n^2}}}{{x_0^2-{m^2}}}$,由点均在椭圆上,化简得${k_{PM}}•{k_{PN}}=-\frac{b^2}{a^2}$.

点评 本题考查类比思想,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

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