Question

【题目】已知圆A：（x+2）2+y2=1，圆B：（x﹣2）2+y2=49，动圆P与圆A，圆B均相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）已知点N（2， ），作射线AN，与“P点 轨迹”交于另一点M，求△MNB的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圆A：（x+2）2+y2=1，圆B：（x﹣2）2+y2=49，动圆P与圆A，圆B均相切，

∴圆A的圆心A（﹣2，0），半径R1=1，圆B的圆心B（2，0），半径R2=7，

设动圆圆心P（x，y），半径为r，而圆A内含于圆B，

当动圆P与圆A外切，与圆B内切时，有|PA|=r+1，|PB|=7﹣r，

∴|PA|+|PB|=8＞|AB|=4，

由椭圆定义知：动点P是以A，B为焦点的椭圆，其方程为 ．

当动圆P与圆A内切，与圆B内切时，有|PA|=r﹣1，|PB|=7﹣r，

∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，

由椭圆定义知：动点P是以A，B为焦点的椭圆，其方程为 ．

综上可知，动点P的轨迹方程为： 或

（2）解：由题意N点在椭圆 上，A，B是两椭圆 和 的公共焦点，

由椭圆定义知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，

两式相减得：|MN|+|MB|﹣|NB|=2，而 ，

故△MNB周长等于

【解析】（1）设动圆圆心P（x，y），半径为r，而圆A内含于圆B，当动圆P与圆A外切，与圆B内切时，动点P是以A，B为焦点的椭圆；当动圆P与圆A内切，与圆B内切时，动点P是以A，B为焦点的椭圆．由此能求出动点P的轨迹方程．（2）由椭圆定义知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，由此能求出△MNB周长．