题目内容
【题目】已知底面边长为a的正三棱柱
（底面是等边三角形的直三棱柱）的六个顶点在球
上，且球
与此正三棱柱的5个面都相切，则球与球的表面积之比为________.
【答案】
【解析】
设球
与球
的半径分别为R，r，由题意分析球的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径，且等于正三棱柱高的一半，求出其半径r，再由球的球心在上下底面中心连线的中点上，求出半径R，再由球的表面积公式求出比值即可.
设球与球的半径分别为R，r，因为球与此正三棱柱的5个面都相切，所以球的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径，且等于正三棱柱高的一半，如图所示，因为正三棱柱
底面边长为a的正三棱柱，所以
，所以
，
，因为正三棱柱的六个顶点在球上，所以球的球心在上下底面中心连线的中点上，所以
，所以球与球的表面积之比为
，所以表面积之比为.
故答案为：
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