题目内容
【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的极值点;
(2)若,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,无极值点;当
时,极值点为
;当
且
时,极值点为
和
;(2)
.
【解析】
(1)先求出函数的导数,讨论
、
、
且
即可求出函数的极值点;
(2)由题意可将,
恒成立转化为
时,
恒成立,然后构造函数
,分
,
与两种情况讨论,分别用导数的方法研究其在
上的单调性和值域,即可筛选出符合题意的
的取值范围.
(1),
当时,
,故无极值点;
当时,函数
只有一个极值点,极值点为
;
当且
时,函数
有两个极值点,分别为
和
.
(2),依题意,当
时,
,
即当时,
.
设,则
.
设,则
.
①当时,
,
,从而
(当且仅当
时,等号成立),
在
上单调递增.
又,
当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递减,又
,
从而当时,
,即
,
于是当时,
.
②当时,令
,得
,
.
故当时,
,
在
上单调递减.
又,
当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递增,又
,
从而当时,
,即
,
于是当时,
,不符合题意.
综上所述:实数的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年(从2008年到2017年)的工业增加值(万亿元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值(万亿元)与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数
,其拟合指数
;研究人员乙采用函数
,其拟合指数
;研究人员丙采用线性函数
,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.(注:相关系数
与拟合指数
满足关系
).
(2)根据(1)的判断结果及统计值,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(3)预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附:样本
的相关系数
,
,
,
.