Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值和最小值及其相应的自变量x的值；
（2）在直角坐标系中作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据倍角公式及和差角公式，化简函数的解析式，进而根据正弦型函数的最值性，可求出函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．
（2）利用列表法，结合五点作图法进行取值作图．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（$2x-\frac{π}{6}$）-1
∵-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
当$2x-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）的最大值为1-1=0，
当$2x-\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）的最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$-1．
（2）

2x-$\frac{π}{6}$	$-\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-$\frac{3}{2}$	-1	0	-10	-2	-$\frac{3}{2}$

对应的图象为

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握相应的三角函数的性质以及五点法作图．