Question

20．已知函数$f（x）=2sin（{\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}}），x∈R$．
（1）求$f（{\frac{5π}{4}}）$的值；
（2）求$f（{\frac{2π}{3}}）f（{\frac{4π}{3}}）f（{\frac{5π}{3}}）$的值；
（2）设$α，β∈[{0，\frac{π}{2}}]，f（{3α+\frac{π}{2}}）=\frac{10}{13}，f（{3β+2π}）=\frac{6}{5}$，求$cos\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{5π}{4}$代入函数f（x）的解析式中，进行求解即可．
（2）利用诱导公式化简函数的表达式，然后利用二倍角公式化简求值即可．
（3）分别把x=3α+$\frac{π}{2}$和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，
利用两角和差的余弦公式以及倍角公式进行求解．

解答 解：（1）把x=$\frac{5π}{4}$代入函数解析式得：
f（$\frac{5π}{4}$）=2sin（$\frac{1}{3}$×$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
（2）$f（{\frac{2π}{3}}）f（{\frac{4π}{3}}）f（{\frac{5π}{3}}）$=8sin（$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{6}$）sin（$\frac{4π}{9}$-$\frac{π}{6}$）sin（$\frac{5π}{9}$-$\frac{π}{6}$）
=8sin$\frac{π}{18}$sin$\frac{5π}{18}$ sin$\frac{7π}{18}$=8cos$\frac{2π}{18}$cos$\frac{4π}{18}$cos$\frac{8π}{18}$
=8cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$
=$\frac{8sin\frac{π}{9}}{sin\frac{π}{9}}$cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$
=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$（4sin$\frac{2π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$）
=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$（2sin$\frac{4π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$）=$\frac{sin\frac{8π}{9}}{sin\frac{π}{9}}$=$\frac{sin\frac{π}{9}}{sin\frac{π}{9}}$=1．
（3）由f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，代入得：
2sin[$\frac{1}{3}$（3α+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{6}$]=2sinα=$\frac{10}{13}$，
2sin[$\frac{1}{3}$（3β+2π）-$\frac{π}{6}$]=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$
则sinα=$\frac{5}{13}$，cosβ=$\frac{3}{5}$，
又α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则cosα=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，$\frac{α+β}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$．
∵$\frac{α+β}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cos$\frac{α+β}{2}$∈[0，1]，
则cos（α+β）=2cos²$\frac{α+β}{2}$-1=$\frac{16}{65}$．
则cos²$\frac{α+β}{2}$=$\frac{81}{130}$，
则cos$\frac{α+β}{2}$=$\frac{9}{\sqrt{130}}$=$\frac{9\sqrt{130}}{130}$．

点评 本题主要考查三角函数值的求解，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值是解决本题的关键．