题目内容

3.已知二项式(1+$\sqrt{2}$x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(x∈R,n∈N)
(1)若展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的3倍,求n的值;
(2)若n为正偶数时,求证:a0+a2+a4+a6+…+an为奇数.
(3)证明:C${\;}_{n}^{1}$+2C${\;}_{n}^{2}$•2+3C${\;}_{n}^{3}$•22+…+nC${\;}_{n}^{n}$•2n-1=n•3n-1(n∈N+

分析 (1)直接利用条件可得 $C_n^4=3•C_n^2{(\sqrt{2})^2}$,由此求得n的值.
(2)当n为正偶数时,则 a0+a2+a4+a6+…+an=1+2${C}_{n}^{2}$+22•${C}_{n}^{4}$+…+${2}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$,除第一项为奇数外,其余的各项都是偶数,从而证得结论.
(3)由k${C}_{n}^{k}$=n•${C}_{n-1}^{k-1}$,可得C${\;}_{n}^{1}$+2C${\;}_{n}^{2}$•2+3C${\;}_{n}^{3}$•22+…+nC${\;}_{n}^{n}$•2n-1=n(${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$×2+${C}_{n-1}^{2}$×22+…+${C}_{n-1}^{n-1}$×2n-1),再利用二项式定理证得所给的等式成立.

解答 解:(1)由题意可得 $C_n^4=3•C_n^2{(\sqrt{2})^2}$,∴n=11.
(2)证明:当n为正偶数时,则 a0+a2+a4+a6+…+an=1+2${C}_{n}^{2}$+22•${C}_{n}^{4}$+…+${2}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$,
除第一项为奇数外,其余的各项都是偶数,故1+2${C}_{n}^{2}$+22•${C}_{n}^{4}$+…+${2}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$ 为奇数,
即a0+a2+a4+a6+…+an为奇数.
(3)∵k${C}_{n}^{k}$=n•${C}_{n-1}^{k-1}$,
∴C${\;}_{n}^{1}$+2C${\;}_{n}^{2}$•2+3C${\;}_{n}^{3}$•22+…+nC${\;}_{n}^{n}$•2n-1=n(${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$×2+${C}_{n-1}^{2}$×22+…+${C}_{n-1}^{n-1}$×2n-1
=n•(1+2)n-1=n•3n-1

点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.

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