题目内容

9.如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.
(Ⅰ)求证:AO⊥BE.
(Ⅱ)求二面角F-AE-B的余弦值;
(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,求a的值.

分析 (Ⅰ)根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE.
(Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角F-AE-B的余弦值;
(Ⅲ)利用线面垂直的性质,结合向量法即可求a的值

解答 证明:(Ⅰ)∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点,
∴AO⊥EF,
∵平面AEF⊥平面EFCB,AO?平面AEF,
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE.
(Ⅱ)取BC的中点G,连接OG,
∵EFCB是等腰梯形,
∴OG⊥EF,
由(Ⅰ)知AO⊥平面EFCB,
∵OG?平面EFCB,∴OA⊥OG,
建立如图的空间坐标系,
则OE=a,BG=2,GH=a,(a≠2),BH=2-a,EH=BHtan60°=$\sqrt{3}(2-a)$,
则E(a,0,0),A(0,0,$\sqrt{3}$a),B(2,$\sqrt{3}(2-a)$,0),
$\overrightarrow{EA}$=(-a,0,$\sqrt{3}$a),$\overrightarrow{BE}$=(a-2,-$\sqrt{3}(2-a)$,0),
设平面AEB的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\sqrt{3}az=0}\\{(a-2)x+\sqrt{3}(a-2)y=0}\end{array}\right.$,
令z=1,则x=$\sqrt{3}$,y=-1,
即$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,-1,1),
平面AEF的法向量为$\overrightarrow{m}=(0,1,0)$,
则cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
即二面角F-AE-B的余弦值为$-\frac{\sqrt{5}}{5}$;
(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,
则BE⊥OC,
即$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}$=0,
∵$\overrightarrow{BE}$=(a-2,-$\sqrt{3}(2-a)$,0),$\overrightarrow{OC}$=(-2,$\sqrt{3}(2-a)$,0),
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}$=-2(a-2)-3(a-2)2=0,
解得a=$\frac{4}{3}$.

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网