Question

(本小题满分12分）
某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其
中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草（如图），并以该直角三角
形斜边开辟观赏小道（其中的一条为线段）. 某园林公司承接了该中心花园的施工建设，
在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点的距离和为4（单位：百米），且椭圆上点
到焦点的最近距离为1（单位：百米）.
（Ⅰ）以椭圆中心为原点建立如图的坐标系，求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）请计算观赏小道的长度（不计小道宽度）的最大值.
 

Answer 1

解：(Ⅰ) 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，2a＝4，a－c＝1，a＝2，c＝1，
∴b＝，故椭圆的标准方程＋＝1.……3分
(Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，
设直角三角形斜边所在直线方程为y＝kx＋m，斜边与椭圆的交点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
联立方程组        y=kx+m
＋＝1
得3x²＋4(kx＋m)²＝12，即(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，
则Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＝48(4k²－m²＋3)>0，即4k²－m²＋3>0.
x₁+ x₂=" - " 8km
3＋4k²
x₁ x₂=   ，        …………6分
y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝k²－＋m²
＝，
要使△AOB为直角三角形，需使x₁x₂＋y₁y₂＝0，
即＋＝0，所以7m²－12k²－12＝0， …………8分
即m²＝，故4k²－m²＋3＝4k²＋3－＝>0，
所以|AB|＝＝＝
＝
＝＝
＝≤.
当仅当16k²＝，k＝±时，等号成立. …………10分
②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为.
综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分

略