Question

20．设{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₂+a₅=1，S₁₅=75，T_n为数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前n项和（n∈N^*）．
（1）求S_n；
（2）求T_n，及T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）由于$\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得T_n，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}为等差数列，首项为a₁，公差设为d，
则依题意有$\left\{\begin{array}{l}（{a_1}+d）+（{a_1}+4d）=1\\ 15{a_1}+\frac{15×14}{2}d=75\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=-2\\ d=1\end{array}\right.$，
∴${S_n}={a_1}n+\frac{n（n-1）}{2}d=-2n+\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{{n^2}-5n}}{2}$．
（2）∵${S_n}=\frac{{{n^2}-5n}}{2}$，∴$\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$．
设${b_n}=\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$，则${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{（n+1）-5}{2}-\frac{n-5}{2}=\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，首项为${b_1}=\frac{S_1}{1}={a_1}=-2$，
T_n为数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前n项和，
∴${T_n}=-2n+\frac{n（n-1）}{2}•\frac{1}{2}=\frac{{{n^2}-9n}}{4}$．
又∵$y=\frac{{{x^2}-9x}}{4}$图象开口向上，对称轴为$x=\frac{9}{2}$，且n∈N^*，
∴n=4或n=5时，${（{T_n}）_{min}}=\frac{{{4^2}-9×4}}{4}=-5$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．