题目内容
11．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin2$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S的取值范围．
分析 （Ⅰ）根据题意和二倍角的余弦公式化简式子，得出关系式求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的余弦值，求出C；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入，利用基本不等式求出ab的范围，再利用面积公式即可求出S的范围．
解答 解：（Ⅰ）由题意得，2sin2$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，
∴1-cos（A+B）=2cos2C，
又cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC，
∴2cos2C-cosC-1=0，解得cosC=$-\frac{1}{2}$或1，
∵0＜C＜π，∴cosC=$-\frac{1}{2}$，则C=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵C=$\frac{2π}{3}$，c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC，
3=a2+b2-2ab（$-\frac{1}{2}$），解得3=a2+b2+ab，
∴3-ab=a2+b2≥2ab，解得ab≤1，当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面积S的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．
点评 本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式求最值的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．
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