题目内容
【题目】对定义在区间上的函数
和
,如果对任意
,都有
成立,那么称函数
在区间D上可被
替代,D称为“替代区间”.给出以下命题:
①在区间
上可被
替代;
②可被
替代的一个“替代区间”为
;
③在区间
可被
替代,则
;
④,则存在实数
,使得
在区间
上被
替代;
其中真命题的有
【答案】①②③
【解析】试题分析:对于①,所以①为真命题。对于②
,令h(x)=f(x)-g(x),
,所以函数h(X)在区间
上为增函数,
,
,所以|f(x)-g(x)|<1,所以②为真命题。对于③
。设h(x)=lnx-x+b,则
在区间[1,e]上单调递减。h(1)=b-1,h(e)=1-e+b,所以
,所以
.所以该命题为真命题。对于④,1)若
可取
可取
则所以不存在实数
替代。(2)若
可取取
或更小,则
所以不存在实数
替代。综上得,不存在实数
,使得
在区间
上被
替代。所以④为假命题。所以真命题有①②③
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