题目内容
【题目】在三棱柱中,侧棱
底面
,
,
,
。
(Ⅰ)若为线段
上一点,且
,求证:
平面
;
(Ⅱ)若分别是线段
的中点,设平面
将三棱柱分割成左、右两部分,记它们的体积分别为
和
,求
。
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证;(Ⅱ)借助题设条件运用柱体和锥体的体积公式求解。
试题解析:(Ⅰ)证明:如图所示,在平面中,过点
作
,
与
相交于点
。因为
,所以
,所以
,
,
,
四点在同一平面内。平面
平面
。由
,得
。
,所以
。
,
,所以
,
,所以
,所以
,即
。又由
底面
,得
。
又且
平面
,
平面
。所以
平面
。
(Ⅱ)解:如下图所示,当,
分别是
,
中点时,直线
与棱
相交于
的中点
。连接
,
。则三角形
就是平面
截三棱柱的截面。
截面右侧为四棱锥。所以
。又三棱柱
的体积
。
所以。
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