题目内容
【题目】如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.
(Ⅰ)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(Ⅱ)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
【答案】(1)(0,)∪(6,+∞);(2)当DN的长为2米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.
【解析】
试题分析:(1)设出相关量坐标,确定该矩形的长和高,进而确定其面积,通过解一元二次不等式进行求解;(2)利用基本不等式进行求解.
试题解析:(1)设DN的长为x(x>0)米, 则AN=(x+2)米.
∵=
,∴AM=
,∴SAMPN=AN·AM=
,
由SAMPN>32,得>32.
又x>0,得3x2-20x+12>0,解得:0<x< 或 x>6,
即DN长的取值范围是(0,)∪(6,+∞).
(2)矩形花坛AMPN的面积为y==
=3x++12≥2
+12=24,
当且仅当3x=,即x=2时,取得最小值24.
故DN的长为2米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.
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