题目内容
【题目】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米.
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）（0，
)∪（6，＋∞)；（2）当DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
【解析】
试题分析：（1）设出相关量坐标，确定该矩形的长和高，进而确定其面积，通过解一元二次不等式进行求解；（2）利用基本不等式进行求解．
试题解析：（1）设DN的长为x（x＞0)米， 则AN＝（x＋2)米．
∵
＝
，∴AM＝
，∴SAMPN＝AN·AM＝
，
由SAMPN＞32，得＞32.
又x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得：0＜x＜ 或 x＞6，
即DN长的取值范围是（0，)∪（6，＋∞)．
（2）矩形花坛AMPN的面积为y＝＝
＝3x＋
＋12≥2
＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
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