题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数的零点个数;
(3)当时,求证不等式
解集为空集.
【答案】(1)的单调增区间为
,单调减区间为
(2)
在
上只有一个零点(3)证明见解析
【解析】
(1)求导得到,计算得到答案.
(2)求导得到,分类讨论
,
和
三种情况得到答案.
(3)原题等价于恒成立,求导得到函数的单调区间,计算最小值
得到证明.
(1)的定义域为
.
令,得
当时,有
,所以
在
上单调递增.
当时,有
,所以
在
上单调递减.
综上所述:的单调增区间为
,单调减区间为
(2)函数,
令,解得
,
当时,
在
上递减,有
.所以
.
所以有一个零点.
当时,
在
上递增,所以
有一个零点.
当时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增.
此时,所以
有一个零点.
综上所述:在
上只有一个零点.
(3)当时,不等式
解集为空集,等价于
在定义域内恒成立.
即在定义域内恒成立.
令.
,令
,得
列表得
— | 0 | + | |
递减 | 最小值 | 递增 |
因为
,所以
.
又,所以
所以恒成立.所以不等式
解集为空集
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