题目内容
【题目】已知函数,
为实数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设是函数
的导函数,若
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,见解析(2)
【解析】
(1)函数求导后,分三种情况讨论,结合导函数的正负可求出函数的单调区间(2)根据不等式恒成立,分离参数可得
,
时恒成立,分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.
(1)函数的定义域是
.
.
(i)当时,令
,得
;
令,得
或
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
,
上单调递增;
(ii)当时,
对任意
恒成立,且
不恒为0,
所以函数在
上单调递增;
(iii)当时,令
,得
;
令,得
或
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
,
上单调递增.
(2)等价于
,得
,得
,
因为,所以
.
所以不等式两边同时除以,得
,
即,
得.
所以.
即对任意
恒成立.
设,
,
,
则,
.
所以函数在区间
上是增函数,
在区间
上是增函数.
所以,
.
所以.
所以实数的取值范围是
.
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