题目内容
【题目】已知函数.
(1)设,求函数
的单调增区间;
(2)设,求证:存在唯一的
,使得函数
的图象在点
处的切线l与函数
的图象也相切;
(3)求证:对任意给定的正数a,总存在正数x,使得不等式成立.
【答案】(1)的单调增区间为(0,
];(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)求出导函数,在函数定义域内由
确定其增区间;
(2)先求出在
处的切线方程,设这条切线与
的图象切于点
,由
,得出关于
的方程,然后证明此方程的解在
上存在且唯一.
(3)把问题转化为在
上有解,令
,则只要
即可.
(1)h(x)=g(x)﹣x2=lnx﹣x2,x∈(0,+∞).
令,
解得.
∴函数h(x)的单调增区间为(0,].
(2)证明:设x0>1,,可得切线斜率
,
切线方程为:.
假设此切线与曲线y=f(x)=ex相切于点B(x1,),f′(x)=ex.
则k=,
∴.
化为:x0lnx0﹣lnx0﹣x0-1=0,x0>1.
下面证明此方程在(1,+∞)上存在唯一解.
令u(x0)=x0lnx0﹣lnx0﹣x0-1,x0>1.
,在x0∈(1,+∞)上单调递增.
又u′(1)=-1,,
∴在
上有唯一实数解
,
,
,
递减,
时,
,
递增,
而,∴
在
上无解,
而,∴
在
上有唯一解.
∴方程在(1,+∞)上存在唯一解.
即:存在唯一的x0,使得函数y=g(x)的图象在点A(x0,g(x0))处的切线l与函数y=f(x)的图象也相切.
(3)证明:,
令v(x)=ex﹣x﹣1,x>0.
∴v′(x)=ex﹣1>0,
∴函数v(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,
∴v(x)>v(0)=0.
∴,
∴不等式,a>0ex﹣x﹣1﹣ax<0,
即H(x)=ex﹣x﹣1﹣ax<0,
由对任意给定的正数a,总存在正数x,使得不等式成立H(x)min<0.
H(x)=ex﹣x﹣1﹣ax,a,x∈(0,+∞).
H′(x)=ex﹣1﹣a,令ex﹣1﹣a=0,
解得x=>0,
函数H(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(
,+∞)上单调递增.
∵H(0)=0,∴.
∴存在对任意给定的正数a,总存在正数x,使得不等式成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的
A | B | C | D | E | F |
这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )
A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种