题目内容
【题目】如果数列对于任意
,都有
,其中
为常数,则称数列
是“间等差数列”,
为“间公差”.若数列
满足
,
,
.
(1)求证:数列是“间等差数列”,并求间公差
;
(2)设为数列
的前n项和,若
的最小值为-153,求实数
的取值范围;
(3)类似地:非零数列对于任意
,都有
,其中
为常数,则称数列
是“间等比数列”,
为“间公比”.已知数列
中,满足
,
,
,试问数列
是否为“间等比数列”,若是,求最大的整数
使得对于任意
,都有
;若不是,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)63.
【解析】
(1)直接利用定义求出数列为间等差数列.
(2)利用分类讨论思想,利用数列的前n项和公式求出数列的和,进一步利用不等量关系求出结果.
(3)利用分类讨论思想,进一步求出数列的通项公式,再利用函数的单调性求出k的最大值.
(1)若数列{an}满足an+an+1=2n﹣35,n∈N*,则:an+1+an+2=2(n+1)﹣35,
两式相减得:an+2﹣an=2.故数列{an}是“间等差数列”,公差d=2.
(2)(i)当n=2k时,
(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an﹣1+an)=﹣33﹣29+…+(2n﹣37)=
易知:当n=18时,最小值S18=﹣153.
(ii)当n=2k+1时,
Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an﹣1+an)=a1+(﹣31)+(﹣29)+…+(2n﹣37)=,
当n=17时最小,其最小值为S17=a﹣136,要使其最小值为﹣153,
则:a﹣136≥﹣153,解得:a≥﹣17.
(3)易知:cncn+1=2018()n﹣1,则:cn+1cn+2=2018(
)n,
两式相除得:,故数列{cn}为“间等比数列”,其间等比为
.
,
易求出数列的通项公式为:,
由于n>
n+1,则数列{
n}单调递减.那么,奇数项和偶数项都为单调递减,所以:k>0.
要使数列为单调递减数列.只需2m﹣1>
2m>
2m+1,
即:,
解得,即最大的整数
.
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