题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
底面ABC,
点D,E分别为棱PA,PC的中点,M是线段AD的中点,N是线段BC的中点,
,
.
Ⅰ
求证:
平面BDE;
Ⅱ
求直线MN到平面BDE的距离;
Ⅲ
求二面角
的大小.
【答案】Ⅰ
见解析;
Ⅱ
;
Ⅲ
【解析】
Ⅰ
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明
平面BDE.
Ⅱ
求出
0,
,利用向量法得直线MN到平面BDE的距离
.
Ⅲ
求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量,利用向量法能求出二面角
的大小.
Ⅰ
在三棱锥
中,
底面ABC,
点D,E分别为棱PA,PC的中点,
M是线段AD的中点,N是线段BC的中点,,
.
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,
建立空间直角坐标系,
0,
,
0,
,
4,
,
2,
,
0,
,
0,
,
2,
,
2,
,
0,
,
2,
,
设平面BDE的法向量y,
,
则,取
,得
0,
,
,
平面BDE,
平面BDE.
Ⅱ
,0,
,
直线MN到平面BDE的距离:
.
Ⅲ
平面BDE的法向量
0,
,
平面DEP的法向量0,
,
设二面角的大小为
,
则.
.
二面角
的大小为
.
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