题目内容
17.将数列{an}按如图所示的规律排成一个三角形表,并同时满足以下两个条件:①各行的第一个数a1,a2,a5构成公差为d的等差数列;
②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列.
若a1=1,a3=4,a5=3,则d=1;第n行的和Tn=n•22n-1-n.
分析 依题意,可求得d=1,又a3=a2q=(a1+d)q,可求得q=2;记第n行第1个数为A,易求A=n;据此数表的排列规律可知:每行的总个数构成一个以1为首项,2为公差的等差数列,而第n行共有(2n-1)个数,第n行各数为以n为首项,q=2为公比的等比数列,于是可求得第n行各数的和Tn.
解答 解:依题意得a5=a1+2d,∴3=1+2d,
∴d=1.
又∵a3=a2q=(a1+d)q,q=2,
∴d,q的值分别为1,2;
记第n行第1个数为A,则A=a1+(n-1)d=n,
又根据此数表的排列规律可知:每行的总个数构成一个以1为首项,2为公差的等差数列,
∴第n行共有(2n-1)个数,
∴第n行各数为以n为首项,q=2为公比的等比数列,
因此其总数的和Tn=$\frac{n(1-{2}^{2n-1})}{1-2}$=n•22n-1-n.
故答案为:1,n•22n-1-n;
点评 本题考查数列的求和,突出考查归纳推理,考查方程思想与运算推理能力,判断出每行的总个数构成一个以1为首项,2为公差的等差数列是关键.
练习册系列答案
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