Question

7．（1）在长度为a的线段AB上任取一点M，求点M到AB中点的距离不小于$\frac{a}{4}$的概率；
（2）在边长为a的正三角形ABC内任取一点M，求点M到其中心点的距离大于其内切圆半径的概率；
（3）在棱长为a的正四面体P-ABC内任取一点M，求点M到其中心点的距离小于其内切球半径的概率．

Answer 1

分析 （1）利用事件集合的长度比求概率；
（2）利用事件集合的面积比求概率；
（3）利用事件集合的体积比求概率．

解答 解：（1）设线段AB 所在的几何区域为D，记到线段AB 中心点的距离不小于$\frac{a}{4}$ 的几何区域为d，到线段AB 中心点的距离不小于$\frac{a}{4}$ 为事件A，则如图所示：$P（A）=\frac{d的测度}{D的测度}=\frac{{\frac{a}{4}+\frac{a}{4}}}{a}=\frac{1}{2}$…5分
（2）设正三角形ABC 的面积所在的几何区域为D，记到正三角形ABC 中心点的距离大于其内切圆半径的几何区域为d，到正三角形ABC 中心点的距离大于其内切圆半径为事件B，则如图所示：$P（B）=\frac{d的测度}{D的测度}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}-π×{{（\frac{{\sqrt{3}}}{6}a）}^2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}}}=\frac{{9-\sqrt{3}π}}{9}$ …10分
（3）设正四面体P-ABC 的体积所在的几何区域为D，记到正四面体P-ABC 中心点的距离小于其内切球半径的几何区域为d，到正四面体P-ABC 中心点的距离小于其内切球半径为事件C，则如图所示：$P（C）=\frac{d的测度}{D的测度}=\frac{{\frac{4}{3}×π×{r^3}}}{{\frac{1}{3}×{S_{三角形ABC}}×PE}}$=$\frac{{\frac{4}{3}×π×{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{12}a}）}^3}}}{{\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}a}}$=$\frac{{\sqrt{3}π}}{18}$ …16分

点评 本题考查了几何概型公式的运用；关键是明确事件的集合测度是区域长度、面积还是体积；属于中档题．