题目内容
【题目】(本小题满分16分)已知数列(
,
)满足
,
其中
,
.
(1)当时,求
关于
的表达式,并求
的取值范围;
(2)设集合.
①若,
,求证:
;
②是否存在实数,
,使
,
,
都属于
?若存在,请求出实数
,
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
(2)①详见解析,②不存在
【解析】试题分析:(1)数列递推关系式是一个分段函数,可通过分段点进行连接:
,
,
,根据对勾函数得
,或
,从而有
(2)①当
时,数列
是一个等差数列,易得
,从而
,令
,得
.问题转化为证明
有满足条件
解,易求得
②
∴
,问题转化为是否存在三个不同的整数
(
),使得
消去a,d得
,由于
,所以无解
试题解析:(1)当时,
,
,
. 2分
因为,
,或
,
所以. 4分
(2)①由题意,
,
. 6分
令,得
.
因为,
,
所以令,则
. 8分
②不存在实数,
,使
,
,
同时属于
. 9分
假设存在实数,
,使
,
,
同时属于
.
,∴
,
从而. 11分
因为,
,
同时属于
,所以存在三个不同的整数
(
),
使得从而
则. 13分
因为与
互质,且
与
为整数,
所以,但
,矛盾.
所以不存在实数,
,使
,
,
都属于
. 16分
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