Question

【题目】对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=1，b=﹣2时，f（x）=x2﹣x﹣3，

f（x）=xx2﹣2x﹣3=0x=﹣1，x=3

∴函数f（x）的不动点为﹣1和3

（2）解：即f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1=x有两个不等实根，

转化为ax2+bx+b﹣1=0有两个不等实根，须有判别式大于0恒成立

即b2﹣4a（b﹣1）＞0△=（﹣4a）2﹣4×4a＜00＜a＜1，

∴a的取值范围为0＜a＜1

（3）解：设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2=﹣ ，

A，B的中点M的坐标为 （ ， ），即M（﹣ ，﹣ ）

∵A、B两点关于直线y=kx+ 对称，

又因为A，B在直线y=x上，

∴k=﹣1，A，B的中点M在直线y=kx+ 上．

∴﹣ = b=﹣ =﹣ 利用基本不等式可得

当且仅当a= 时，b的最小值为﹣

【解析】（1）转化为直接解方程x2﹣x﹣3=x即可．（2）转化为ax2+bx+b﹣1=0有两个不等实根，转化为b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，再利用二次函数大于0恒成立须满足的条件来求解即可．（3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直．找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．