Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1 ， D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（II）求直线AF与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）交线围成的正方形EFGH如图：（II）作EM⊥AB，垂足为M，则：
EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；
∴ ，∴AH=10；
以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；
∴ ；
设 为平面EFGH的法向量，则：
，取z=3，则 ；
若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：
sinθ= = ；
∴直线AF与平面α所成角的正弦值为
【解析】（I）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（II）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为 ，根据 即可求出法向量 ， 坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ= 即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．