题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
为直角梯形,
∥
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:∥平面
;
(Ⅱ)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(I)见解析;
(II)
【解析】
(Ⅰ)取BC的中点G,连接FG,EG,证明四边形EGCD为平行四边形,得EG∥平面ACD,再证明FG∥平面ACD,可得平面EFG∥平面ACD,从而得到EF∥平面ACD;
(Ⅱ)求解三角形证明BA⊥AE,取BE的中点H,连接AH,HC,证明AH⊥平面BCDE.以H为坐标原点,以过点H且平行于CD的直线为x轴,以过点H且平行于BC的直线为y轴,HA所在直线为z轴建立空间直角坐标系,求出平面ACD的一个法向量,再求出直线BC的方向向量,由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面ACD所成角的正弦值.
解:证明:(I)作中点
,连接
,则
,
又,
四边形
为平行四边形,
故,则
平面
,
又为
的中点,
,则
平面
,
又,
平面
平面
,
平面
,
平面
(II),
,
,
,
,则
,
又,
,则
,
作中点
,连接
,
,
,
,
又,
,即
,
又,
平面
.
以为坐标原点,以过点
且平行于
的直线为
轴,以过点
且平行于
的直线为
轴,
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
可得,
,
,
,
,
设为平面
的一个法向量,
则即
可得,
直线的方向向量
,
设与平面
所成角为
,
则,
综上,直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关,随机调查220名高中学生,将他们的意见进行了统计,得到如下的列联表.
喜爱数学课 | 不喜爱数学课 | 合计 | |
男生 | 90 | 20 | 110 |
女生 | 70 | 40 | 110 |
合计 | 160 | 60 | 220 |
(1)根据上面的列联表判断,能否有的把握认为“喜爱数学课与性别”有关;
(2)为培养学习兴趣,从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解,从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出2名进行电话回访,求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.
参考公式:.
P( | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |