Question

【题目】在直角坐标系中，定义两点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有下列命题：
①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R），则d（P，Q）为定值；
②原点O到直线x﹣y+1=0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为 ；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥ d（P，Q）；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是 ． （写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R），则d（P，Q）=|1﹣sin2α|+|3﹣cos2α|=cos2α+2+sin2α=3为定值，正确；
②设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|= ，d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，因为2（a2+b2）≥（a+b）2 ， 所以|PQ|≥ d（P，Q），正确；
④过P（1，3）与Q（5，7）的直线方程为y=x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，则|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|=2|x﹣1|+2|x﹣5|=8，所以|x﹣1|+|x﹣5|=4，所以1≤x≤5，因为x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有5个，正确．
所以答案是：①③④．