Question

【题目】（已知幂函数f（x）=x ，（k∈Z）满足f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并求出相应的函数f（x）解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上值域为 ．若存在，求出此q．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（2）＜f（3），可得幂函数f（x）=x ，（k∈Z）为增函数，

则﹣k2+k+2＞0，解得：﹣1＜k＜2，

又k∈Z，∴k=1或k=0，

则f（x）=x2

（2）解：由g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，

其对称轴方程为x= ，

由q＞0，得 ，

当 ，即 时，

= ．

由 ，解得q=2或q= （舍去），

此时g（﹣1）=﹣2×（﹣1）2+3×（﹣1）+1=﹣4，g（2）=﹣2×22+3×2+1=﹣1，

最小值为﹣4，符合要求；

当 ，即 时，g（x）max=g（﹣1）=﹣3q+2，g（x）min=g（2）=﹣1，不合题意．

∴存在正数q=2，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上值域为 ．

【解析】由f（2）＜f（3）可知该幂函数单调递增，由幂函数的性质可得到﹣k2+k+2＞0，解出k的值，从而得到f（x）的解析式，（2）由（1）表示出g（x）的解析式，整理后表示出对称轴方程，对对称轴大于-1和小于等于-1进行分析讨论可得到q的值.