Question

7．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线的两条渐近线分别相切于 A、B两点，且|AB|=$\sqrt{3}$b，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），根据以F为圆心的圆与双曲线的两条渐近线分别相切于A、B两点，由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∵以F为圆心的圆与双曲线的两条渐近线分别相切于A、B两点，
∴由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．