Question

15．已知集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}．
（1）若1∈A，求a的值；
（2）若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；
（3）若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．

Answer 1

分析 （1）根据方程根的定义，将x=1代入方程，得到关于a的一次方程，求出a值，最后再回代到原方程中求出原方程的解，即可得出答案；
（2）用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零；
（3）根据二次函数的性质得到不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵1是集合A中的一个元素，
∴1是关于x的方程ax²+2x+1=0的一个根，
∴a•1²+2×1+1=0，即a=-3．
方程即为-3x²+2x+1=0，
解这个方程，得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{3}$，
∴集合A={-$\frac{1}{3}$，1}；
（2）当a=0时，A={-$\frac{1}{2}$}；
当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式
△=4-4a=0得a=1．
综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素．
故实数a组成的集合为{0，1}；
（3）由题意，集合A有两个元素，
即方程ax²+2x+1=0有两个实数根．
∴a≠0，且△＞0，
即a＜1且a≠0，
∴实数a组成的集合为{a|a＜1且a≠0}．

点评 本题考查集合的概念和一元二次方程根的判定，解题时容易漏掉a≠0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．