Question

19．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，cosA），$\overrightarrow{n}$=（2sinA，cos2A），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角A的大小．
（Ⅱ）如果a=3，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得$sin（2A+\frac{π}{3}）$=0，解出即可．
（II）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，于是a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin$（\frac{2π}{3}-B）$化简整理即可得出．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴2sinAcosA+$\sqrt{3}$cos2A=0，化为$sin（2A+\frac{π}{3}）$=0，
∵A为锐角，∴$2A+\frac{π}{3}$=π，解得A=$\frac{π}{3}$．
（II）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin$（\frac{2π}{3}-B）$=3+$3\sqrt{3}sinB+3cosB$=$6sin（B+\frac{π}{6}）$+3，
∵$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜B+\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴（a+b+c）∈$（3+3\sqrt{3}，9]$，
∴△ABC周长的取值范围是$（3+3\sqrt{3}，9]$．

点评 本题主要考查向量共线与数量积的关系、正弦定理、诱导公式、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．