Question

本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知_w.&

  （I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（理）（III）求二面角A—A₁B—C的大小

Answer 1

,

解：（I）因为A₁D⊥平面ABC，
所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，                      …………1分
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC_{1                               w.&}…………2分
所以AC₁⊥平面A₁BC；                                    …………3分
（II）因为AC₁⊥A₁C，所以四边形AA₁C₁C为菱形，
故AA₁=AC=2，又D为AC中点，知                         …………4分
取AA₁中点F，则AA₁⊥平面BCF，从而平面A₁AB⊥平面BCF，…………6分
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在                      …………7分
即CC₁到平面A₁AB的距离为                                      …………8分
（III）过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，
从而为二面角A—A₁B—C的平面角，                                 …………9分
在
在中，                                 _w.&…………11分
故二面角A—A₁B—C的大小为                                      …………12分