题目内容
【题目】函数f(x)=6cos2 sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)= ,且x0∈(﹣
),求f(x0+1)的值.
【答案】
(1)解:由已知可得,f(x)=3cosωx+ sinωx=2
sin(ωx+
),
又正三角形ABC的高为2 ,从而BC=4,
∴函数f(x)的周期T=4×2=8,即 =8,ω=
,
∴函数f(x)的值域为[﹣2 ,2
].
(2)解:∵f(x0)= ,由(Ⅰ)有f(x0)=2
sin(
x0+
)=
,
即sin( x0+
)=
,由x0∈(﹣
),知
x0+
∈(﹣
,
),
∴cos( x0+
)=
=
.
∴f(x0+1)=2 sin(
x0+
+
)=2
sin[(
x0+
)+
]=2
[sin(
x0+
)cos
+cos(
x0+
)sin
]
=2 (
×
+
×
)
= .
【解析】(1)将f(x)化简为f(x)=2 sin(ωx+
),利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域;(2)由x0∈(﹣
),知
x0+
∈(﹣
,
),由
,可求得即sin(
x0+
)=
,利用两角和的正弦公式即可求得f(x0+1).
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