题目内容

【题目】记[x]为不超过实数x的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[﹣0.3]=﹣1.设a为正整数,数列{xn}满足x1=a, ,现有下列命题:
①当a=5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,2;
②对数列{xn}都存在正整数k,当n≥k时总有xn=xk
③当n≥1时,
④对某个正整数k,若xk+1≥xk , 则
其中的真命题有 . (写出所有真命题的编号)

【答案】①③④
【解析】解:①当a=5时,x1=5,


∴①正确.
②当a=8时,x1=8,




∴此数列从第三项开始为3,2,3,2,3,2…为摆动数列,故②错误;
③当n=1时,x1=a,∵a﹣( )= >0,∴x1=a> 成立,
假设n=k时,
则n=k+1时,
= (当且仅当xk= 时等号成立),

∴对任意正整数n,当n≥1时, ;③正确;
≥xk
由数列①②规律可知 一定成立
故正确答案为①③④
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识,掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

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