题目内容
【题目】无穷数列满足:
为正整数,且对任意正整数
,
为前
项
、
、
、
中等于
的项的个数.
(1)若,求
和
的值;
(2)已知命题 存在正整数
,使得
,判断命题
的真假并说明理由;
(3)若对任意正整数,都有
恒成立,求
的值.
【答案】(1),
;(2)真命题,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据题意直接写出、
、
的值,可得出结果;
(2)分和
两种情况讨论,找出使得等式
成立的正整数
,可得知命题
为真命题;
(3)先证明出“”是“存在
,当
时,恒有
成立”的充要条件,由此可得出
,然后利用定义得出
,由此可得出
的值.
(1)根据题意知,对任意正整数,
为前
项
、
、
、
中等于
的项的个数,
因此,,
,
;
(2)真命题,证明如下:
①当时,则
,
,
,此时,当
时,
;
②当时,设
,则
,
,
,
此时,当时,
.
综上所述,命题为真命题;
(3)先证明:“”是“存在
,当
时,恒有
成立”的充要条件.
假设存在,使得“存在
,当
时,恒有
成立”.
则数列的前
项为
,
,
,
,
,
,
后面的项顺次为,
,
,
,
故对任意的,
,
对任意的,取
,其中
表示不超过
的最大整数,则
,
令,则
,此时
,
有,这与
矛盾,
故若存在,当
时,恒有
成立,必有
;从而得证.
另外:当时,数列
为
,
故,则
.
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练习册系列答案
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【题目】在某次测试中,卷面满分为分,考生得分为整数,规定
分及以上为及格.某调研课题小组为了调查午休对考生复习效果的影响,对午休和不午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表:
分数段 | |||||||
午休考生人数 | 29 | 34 | 37 | 29 | 23 | 18 | 10 |
不午休考生人数 | 20 | 52 | 68 | 30 | 15 | 12 | 3 |
(1)根据上述表格完成下列列联表:
及格人数 | 不及格人数 | 合计 | |
午休 | |||
不午休 | |||
合计 |
(2)判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩及格与午休有关”?
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)