题目内容
【题目】已知圆,直线
过点
.
(1)求圆的圆心坐标和半径;
(2)若直线与圆
相切,求直线
的方程;
(3)若直线与圆
相交于P,Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值,并求此时
直线的方程.
【答案】(1), 2;(2)
或
;(3) 2,
,或
.
【解析】试题分析:
(1)由圆的标准方程可得圆心的圆心坐标为,半径为2
(2)分类讨论直线的斜率是否存在可得直线的方程是
或
;
(3)由题意得到△ABC的面积函数,由均值不等式的结论可得面积的最大值为2,此时直线
的方程是
,或
.
试题解析:
(1)圆心的圆心坐标为,半径为2;
(2)①若直线的斜率不存在,则直线
:
,符合题意;
②若直线斜率存在,设直线
的方程为
,即
,
由题意知,圆心到已知直线
的距离等于半径2,
即,解得
,
所求直线的方程是
或
;
(3)方法1:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为
,
则圆心到直的距离
,
又∵三角形CPQ面积
,
当且仅当,即
时取等号,三角形CPQ的面积的最大值为2,
由,有
,或
,
此时直线方程为
,或
.
方法2:
,
当时,
取最大值2,
此时点到
的距离为
,
设:
,
由,解得
或
,
故所求直线的方程为
或
.
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