Question

【题目】如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，棱PD与EC均垂直于底面ABCD，PD=2EC，N为PB的中点，求证：
（1）平面EBC∥平面PDA；
（2）NE⊥平面PDB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，

又PD平面PDA，EC平面PDA，

∴EC∥平面PDA，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC∥AD，又AD平面PDA，BC平面PDA，

∴BC∥平面PDA，

∵EC平面EBC，BC平面EBC，EC∩BC=C，

∴平面EBC∥平面PDA．

（2）证明：设AC与BD相交于点O，连接NO，

∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点，又N为PB的中点，

∴NO∥PD且NO= PD，

又由（1）得EC∥PD，且 ，

∴NO∥EC且NO=EC，∴四边形NOCE为平行四边形，

∴NE∥OC，即NE∥A，C

∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PD，

又DB⊥AC，PD∩BD=D

∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC，

∴NE⊥平面PDB．

【解析】（1）由线面垂直性质得EC∥PD，由四边形ABCD为正方形，得BC∥AD，由此能证明平面EBC∥平面PDA．（2）推导出四边形NOCE为平行四边形，从而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能证明NE⊥平面PDB．