题目内容
1.已知等差数列{an}的前n项和Sn,bn=$\frac{1}{S_n}$,且a3b3=$\frac{1}{2}$,S3+S5=21.(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)求证:b1+b2+b3+…+bn<2.
分析 (1)设等差数列{an}的公差为d,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程即可得到首项和公差,进而得到通项;
(2)由bn=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n(n+1)}$=$\frac{2}{n(n+1)}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),再由裂项相消求和计算,结合不等式的性质,即可得证.
解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a3b3=$\frac{1}{2}$,S3+S5=21,
可得(a1+2d)•$\frac{1}{3{a}_{1}+3d}$=$\frac{1}{2}$,且3a1+3d+5a1+10d=21,
解得a1=d=1,
则有an=a1+(n-1)d=n;
(2)证明:bn=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n(n+1)}$
=$\frac{2}{n(n+1)}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
即有b1+b2+b3+…+bn=2(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)
=2(1-$\frac{1}{n+1}$)<2,
则原不等式成立.
点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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