Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ） 若b_n=n（a_n-1）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设c_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n=2c₁+2²c₂+…+2ⁿc_n（n∈N^*），求证：T_n＜$\frac{1}{3}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）利用“累加求和”即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：${b_n}=n×{2^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；
（III）利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）解：∵${a_n}={a_{n-1}}+{2^{n-1}}\;\;（n≥2\;，\;n∈{N^*}）$，
∴当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）
=$3+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-2}}+{2^{n-1}}=3+\frac{{2（{2^{n-1}}-1）}}{2-1}={2^n}+1$；
又${a_1}=3={2^1}+1$，
故${a_n}={2^n}+1\;\;（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及题设知：${b_n}=n×{2^n}$，
∴${S_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$
∴$2{S_n}=\;\;\;\;\;\;\;1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$
∴${S_n}=n•{2^{n+1}}-（2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）及题设知：${c_n}=\frac{1}{{（{2^n}+1）（{2^{n+1}}+1）}}$，
∴${2^n}{c_n}=\frac{2^n}{{（{2^n}+1）（{2^{n+1}}+1）}}=\frac{{（{2^{n+1}}+1）-（{2^n}+1）}}{{（{2^n}+1）（{2^{n+1}}+1）}}=\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}\;\;（n∈{N^*}）$，
∴${T_n}=（\frac{1}{{{2^1}+1}}-\frac{1}{{{2^2}+1}}）+（\frac{1}{{{2^2}+1}}-\frac{1}{{{2^3}+1}}）+…+（\frac{1}{{{2^{n-1}}+1}}-\frac{1}{{{2^n}+1}}）+（\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}）$
即  ${T_n}=\frac{1}{{{2^1}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}$，
∴${T_n}＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．