Question

【题目】已知函数（）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若对（为自然对数的底数），恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）单调递增区间为;单调递减区间 (3)

【解析】分析：（1）求出，，切线方程为。

(2)先求定义域，再求导，，因为，所以，所以导数的零点只有一个，可求得单调区间。（3）对，恒有成立，等价于对，恒有成立，构造函数，，即： ，利用导数可求得范围，注意题目中。

详解：（1）当时，

，又

∴曲线在点处的切线方程为：

即：

（2）

∵时，∴

令，解得

令，解得

∴的单调递增区间为;单调递减区间

（3）由题意，对，恒有成立，等价于对，恒有

成立，即：

设，

∵在上恒成立

∴在单调递增

∴

∴只需；即：

又∵，∴

∴实数的取值范围是