Question

【题目】已知函数 （x＞0，e为自然对数的底数），f'（x）是f（x）的导函数． （Ⅰ）当a=2时，求证f（x）＞1；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得f'（x）≥x2lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：当a=2时，f（x）=ex﹣x2 ， 则f'（x）=ex﹣2x， 令 ，则 ，
令f'1（x）=0，得x=ln2，故f'（x）在x=ln2时取得最小值，
∵f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=1；
（Ⅱ）f'（x）=ex﹣ax，
由f'（x）≥x2lnx，得ex﹣ax≥x2lnx对一切x＞0恒成立，
当x=1时，可得a≤e，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．
下面证明当a=2时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ）ex＞x2+1≥2x＞x，∴ex﹣x＞0（x＞0），
∴当0＜x＜2时，g'（x）＜0；当x＞2时，g'（x）＞0，
即g（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
∴ ，
∴当a=2时，不等式恒成立，
所以a的最大值是2
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性zm jk；（Ⅱ）求出函数的导数，得到a≤e，问题转化为证明当a=2时，不等式恒成立，设 ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．