Question

（14分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．
（I）求与的值；
（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义
点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得       （2分）
抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得            （4分）
（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为
则，当  则          （5分）
联立方程，整理得：
即：，解得或                          （6分）
，而，直线斜率为 
，                                    （7分）
联立方程
整理得：，即：．
，解得：，或
，                                （9分）
                   （10分）
而抛物线在点N处切线斜率：        （11分）
MN是抛物线的切线，，
整理得                                          （12分）
，解得（舍去），或，    （14分）

略