Question

【题目】某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.

（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；

（2）试问：当为多少时，年总收入最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，，，所以与全等.

可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果.

（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则

，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.

（1）∵，，，所以与全等.

所以，观赏区的面积为

，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.

（2）种植区的面积为，

正方形面积为，

设年总收入为万元，则

，

其中，求导可得.

当时，，递增；当时，，递增.

所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.