Question

【题目】已知曲线M上的动点到定点距离是它到定直线距离的一半．

（1）求曲线M的方程；

（2）设过点且倾斜角为的直线与曲线M相交与A、B两点，在定直线l上是否存在点C，使得，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）由题意列出关于x，y的关系式，整理即可得到曲线M的方程；

（2）首先可根据题意得出直线的方程为，然后与椭圆方程联立，求得、点坐标，再然后假设在定直线上存在点，使得，即可通过题意中的列出方程，最后通过观察方程无实数解即可得出结果。

（1）由题意可得，，化简得，曲线M的方程为；

（2）由题意可知直线的方程为，设点，

由，得，解得，，，

分别代入，得．即点，

假设在定直线上存在点，使得，则，

因为，

所以，整理得，

因为，

所以上述方程无实数解，即在定直线l上不存在点C，使得。