题目内容
已知函数f(x)=x+
．
（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
| 1 |
| x |
（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）证明：函数的定义域是（-∞．0）∪（0，+∞）
由f(x)=x+
，
可得f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f(x)，
所以函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-
=(x1-x2)+
=(x1-x2)
，
由x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，可知x1＜x2，x1x2-1＞0，
所以f（x1）＜f（x2）．
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数
由f(x)=x+
| 1 |
| x |
可得f(-x)=-x+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
所以函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
由x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，可知x1＜x2，x1x2-1＞0，
所以f（x1）＜f（x2）．
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数
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