题目内容
(本小题满分12分)如图所示,
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,问是否存在这样的直线
使
与
平行,若平行,求出直线
的方程, 若不平行,请说明理由.


(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,问是否存在这样的直线





解:(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系.………………1分

,以A、B为焦点的椭圆, …… 3分
设长半轴长为a,短半轴长b,半焦距为c
所以所求椭圆C的方程为
……………………… 5分
(Ⅱ),即方程为x=0是,
,所以
与
平行,符合……… 6分
当K存在时,设直线l方程为y=kx+2
消去
,整理得(5k2+1)x2+20kx+15="0, " ……………………………… 7分
设
得:
………………………… 8分
,
………………………… 9分
=(2,1)

与
平行




………………………………………………………………… 11分

与
矛盾,舍去
该直线方程为x="0 " ………………………………………… 12分



设长半轴长为a,短半轴长b,半焦距为c


(Ⅱ),即方程为x=0是,



当K存在时,设直线l方程为y=kx+2


设




















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