Question

19．（Ⅰ）关于x的不等式（m+3）x²-（m+3）x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ） 关于x的不等式x²+ax+4＞0的解集为{x|x≠b}，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据不等式（m+3）x²-（m+3）x-1＜0的解集为R，讨论m的取值，求出满足题意m的取值范围；
（Ⅱ）根据二次函数与对应不等式的关系，结合题意，求出a、b的值．

解答 解：（Ⅰ）关于x的不等式（m+3）x²-（m+3）x-1＜0的解集为R，
所以①$\left\{\begin{array}{l}{m+3＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{{（m+3）}^{2}+4（m+3）＜0}\end{array}\right.$，
解得-7＜m＜-3；
②m=-3时，不等式化为-1＜0恒成立，也符合题意；
所以实数m的取值范围是：-7＜m≤-3；…（5分）
（Ⅱ） 关于x的不等式x²+ax+4＞0的解集为{x|x≠b}，
所以二次函数y=x²+ax+4=（x±2）²，
所以a=4时，b=-2；
或a=-4时，b=2．…（10分）

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了二次函数与对应不等式的应用问题，是基础题目．