Question

5．已知a＜b，二次不等式ax²+bx+c≥0对任意实数x恒成立，则M=$\frac{a+2b+4c}{b-a}$的最小值为8．

Answer 1

分析 由题意可得 b＞a＞0，再由△≤0，得到c≥$\frac{{b}^{2}}{4a}$，把c代入M，将关于a，b的不等式利用基本不等式的性质就能求得最小值．

解答 解：∵a＜b，二次函数y=ax²+bx+c≥0对任意实数x恒成立．
∴△≤0，解得：c≥$\frac{{b}^{2}}{4a}$，
a＞0，b-a＞0，
∴M=$\frac{a+2b+4c}{b-a}$≥$\frac{a+2b+4•\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$
=$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{a（b-a）}$=$\frac{[2a+（b-a）]^{2}}{a（b-a）}$
≥$\frac{[2\sqrt{2a（b-a）}]^{2}}{a（b-a）}$=8．
当且仅当2a=b-a，取得等号．
∴M的最小值是8，
故答案为：8

点评 本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键和难点，属于中档题．