题目内容
【题目】已知曲线
的方程为
，集合
，若对于任意的
，都存在
，使得
成立，则称曲线为
曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有__________（写出所有曲线的序号）
①
；②
；③
；④
【答案】①③
【解析】
将问题转化为：对于曲线
上任意一点
，在曲线上存在着点
使得
，据此逐项判断曲线是否为
曲线.
①
的图象既关于
轴对称，也关于
轴对称，且图象是封闭图形，
所以对于任意的点，存在着点使得，所以①满足；
②
的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为
，所以渐近线将平面分为四个夹角为
的区域，
当
在双曲线同一支上，此时
，当不在双曲线同一支上，此时
，
所以
，不满足，故②不满足；
③
的图象是焦点在轴上的抛物线，且关于轴对称，连接
，再过
点作的垂线，
则垂线一定与抛物线交于
点，所以
，所以，所以③满足；
④取
，若，则有
，显然不成立，所以此时不成立，所以④不满足.
故答案为：①③.
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